Вторник, 21.11.2017, 22:21
Приветствую Вас, Гость
Главная » 2014 » Январь » 13 » Нужна ли физикам теория категорий?
10:45
Нужна ли физикам теория категорий?

Математик из Оксфордского института Боб Коуке утверждает, что один из самых абстрактных разделов арифметики - теория категорий - возможно окажется более комфортным «языком» квантовой механики. Таково уж свойство нашего мира, что физические явления эффективнее всего описываются при помощи арифметики. Математических способов в физике выдумано огромное количество - от обычных приемов при решении определенных уравнений до использования теории групп либо вербования еще больше сложных объектов. Но как далековато в область абстрактного полезно заглядывать физике? Найдется ли место в теоретической физике, к примеру, такому абстрактному разделу арифметики, как теория категорий, которую даже сами арифметики время от времени именуют «абстрактной чепухой»? Не так давно в архиве е-принтов появилось эссе Боба Коуке (Bob Coecke), сотрудника Вычислительной лаборатории Оксфордского института, озаглавленное «Введение в теорию категорий для практикующего физика» (Introducing categories to the practicing physicist). В нём создатель защищает точку зрения, которая наверное изумит многих физиков. Он считает, что физикам-теоретикам просто следует знать и уметь использовать теорию категорий, так как они и так работают с категориями (в математически серьезном смысле слова), сами того не подозревая! Что необычного в этом утверждении? Дело в том, что когда физик-теоретик пишет свои формулы, он всё же держит в голове ту реальную природную систему, с которой он пробует разобраться. А теория категорий - это так абстрактная область арифметики, что сначала даже неясно, к чему вообщем в нашем мире может относиться эта теория. Здесь стоит объяснить, что хотя математика и тяготеет к исследованию абстрактных объектов, уровень абстракции может быть очень различный. Самая обычная абстракция - это переход от «двух яблок», «двух камней» и т. д. к понятию числа 2; переход от «я оборотился боком», «камень оборотился боком» к понятию поворота на 90°. При всем этом манипулирование предметами заменяется на универсальные законы работы с числами (либо с преобразованиями, либо с кое-чем еще). Абстракция последующего уровня появляется, когда понимаешь, что правила воззвания с числами 2, 3, 15 и т. д. на самом деле схожи. Все эти числа можно ложить, перемножать, для их работают переместительный, сочетательный и другие законы. Другими словами, все целые числа «играют по одним правилам». Потому нередко полезно оперировать не с определенными числами, а с новым математическим объектом - кольцом целых чисел. Аналогично, различные повороты предмета в пространстве являются элементами нового математического объекта - группы трехмерных вращений. 3-ий уровень абстракции - это когда исчезает «осязаемость» частей групп, колец, полей. Здесь уже рассматриваются не определенные группы вращений либо других преобразований, а просто абстрактные группы - совокупы частей со строго очерченными качествами. Тут на 1-ый план выходит то, какова структура группы, а не то, из чего она «состоит». Характеристики различных непротиворечивых математических структур, безотносительно к тому, где конкретно эти структуры появляются, изучает абстрактная алгебра. Теория категорий предлагает подняться еще выше, на 4-ый уровень абстракции. В ней изучаются уже не определенные группы, а сеть математических взаимосвязей меж различными группами. Аналогично, изучается сеть взаимосвязей меж самыми различными типами пространств либо меж самыми различными кольцами. Более того, оказывается, что эти сети взаимосвязей (групп, полей, пространств и т. д.) - очень шаблонны. Меж ними (меж сетями!) можно установить параллели, и при помощи этих параллелей высочайшего уровня время от времени удается решить очень трудные, но полностью определенные задачки. Создатель эссе утверждает, что конкретно «опыт определения структур», который уже накопила теория категорий, будет очень полезен физикам-теоретикам. В качестве определенного примера он берет таковой раздел физики, как квантовая механика, и равномерно облекает ее в категорную форму. Оказывается, многие главные для квантовой механики понятия, к примеру принцип суперпозиции (с помощью которого вероятны запутанные состояния), локальность, причинность и т. д., появляются в подходящих категориях сами собой. В их даже находятся готовые аналоги для не до конца понятого процесса измерения квантовой системы. Разработанный создателями «картиночный формализм» позволяет отлично обосновывать утверждения в квантовой механике, не прибегая к длинноватым формулам (изображение из статьи B. Coecke, Kindergarten Quantum Mechanics) В чем полезность от таковой переформулировки квантовой теории? Раз квантовая механика точь-в-точь вписывается в «трафарет» теории категорий, то означает сеть взаимосвязей меж квантовыми объектами можно вроде бы узреть «с высоты птичьего полета», не прибегая к определенным вычислениям. Тогда и некие нетривиальные результаты квантовой теории (к примеру, аксиома о невозможности клонирования квантового состояния, квантовая телепортация и т. п.) становятся очень естественными в категорной формулировке. Мощь теории категорий можно поставить «на конвейер» и использовать в рутинных вычислениях. Пару лет вспять Боб Коуке с сотрудниками на базе теории категорий разработал обычный «картиночный формализм», заменяющий собой формульные вычисления в квантовой теории инфы. Этот формализм является, на самом деле, двумерной версией формализма бра- и кет-векторов, сделанного на заре квантовой механики Полем Дираком. Чтоб выделить, как ординарными становятся вычисления в этом подходе, создатель именовал одну из собственных статей «Детсадовская квантовая механика» (Kindergarten Quantum Mechanics). Создатель эссе в заключении гласит, что категории являются массивным и гибким «шаблоном», с уже готовыми конструкциями и аксиомами, по которому можно строить самые различные физические теории, а не только лишь квантовую теорию инфы. Может быть, с помощью их будут открыты новые глубочайшие связи меж уже существующими теориями. Потому он призывает к тому, чтоб включать курс теории категорий в институтские программки не только лишь математиков, да и физиков и даже информатиков.


Компания ЭКОПРОДУКТ - www.ecoprodukt1.ru. Широкоформатная печать на баннере, самоклейке и холсте. Печать чертежей. Типография компании ЭКОПРОДУКТ в Перово работает без выходных
Просмотров: 250 | Добавил: admin | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Имя *:
Email *:
Код *: